Résumé de l'article

L'objectif de ce travail est de présenter une version différente du modèle de croissance optimale de Ramsey-Cass-Koopmans (1965), qui présente l'avantage d'une complète détermination du système différentiel, avec une équation analytique pour caractériser la dynamique transitoire avant le sentier de croissance équilibré. En effet, à partir de la théorie microéconomique du consommateur, l'idée consiste à supposer une fonction d'Utilité qui décrit les préférences relatives des agents entre la consommation et l'épargne. Celle-ci est ensuite utilisée en tant que critère de maximisation dans le programme dynamique (qui montre une application intéressante de la méthode de l'Hamiltonien). Les résultats sont notamment différents de la version qui utilise une fonction "CARA", et sont illustrés par un exemple de simulation numérique avant d'être analysés. Le modèle obtenu est mis en relation avec la version exogène de R.Solow (1956), à travers une discussion de la règle d'or (E.Phelps, 1961).

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Codes JEL O40, O41

Mots clé : Le modèle de Ramsey-Cass-Koopmans; Dynamique transitoire; Trajectoire optimale; Programmation dynamique; Théorie du Contrôle optimal

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La résolution commentée du programme d'optimisation dynamique est présentée en attendant le texte intégral.

Annexe : Résolution du programme dynamique

Nous noterons : ∂x(t)/ ∂t= dx(t)

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Le programme du planificateur social :

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Max ∫ c(t)^θ.[ f[k(t)] – c(t)]^1-θ

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......sous contrainte : dk(t) = f[k(t)] – c(t) – (n + δ + g).k(t)

......et : c(t) +s(t) =y(t)

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L’Hamiltonien s’écrit:

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H(t) = c(t)^θ.[ f[k(t)] – c(t)]^1-θ. e^-θ.t + λ(t).[ f[k(t)] – c(t) – (n + δ + g).k(t)].e^-θ.t

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Conditions:

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i) H1 = ∂H(t)/ ∂c(t) = 0

ii) H2 = ∂H(t)/ ∂k(t) = - d (λ(t). e^-θ.t)

iii) dk(t) = f(k(t)) – c(t) – (n + δ + g).k(t)

iv) lim λ(t). e^-θ.t.k(t) = 0 (Condition de transversalité)

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i) H1 = ∂H(t)/∂c(t) = 0 if θ.c(t)^θ-1.[y(t) - c(t)]^1-θ – (1-θ).c(t).^θ [y(t) - c(t)]^-θ = λ(t)

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En différenciant totalement : d.H1 = ∂H1/∂c(t) .dc(t) + ∂H1/∂k(t).dk(t) = d λ(t)

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∂H1/∂c(t) = [ (θ-1)θ.c(t)^θ-2 [y(t) - c(t)]^1-θ – (1-θ)θ.c(t)^θ-1 [y(t) - c(t)] ^–θ ] – [θ.c(t).^θ-1 (1-θ).[y(t) - c(t)]^–θ + (1-θ).θ.c(t)^θ [y(t) - c(t)]^–θ-1 ]

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= θ(1-θ)c(t)^θ-1 s(t)^–θ[ -s(t)/c(t) – 1 – c(t)/s(t) – 1 ]

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∂H1/∂k(t) = θ.c(t)^θ-1 (1-θ).f’.[y(t) - c(t)]^-θ + (1-θ).θ.f’. c(t)^θ [y(t) - c(t)]^–θ-1

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= θ(1-θ)c(t)^θ-1 s(t)^–θ.f’ + θ(1-θ)c(t)^θ s(t)^–θ-1.f’

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dH1=θ(1-θ).c(t)^θ-1 s(t)^–θ[-s(t)/c(t) – 1 – c(t)/s(t) – 1].dc(t) + θ(1-θ) c(t)^θ-1.s(t)^–θ.f’[1+c(t)/s(t)]dk(t)=d.λ(t)

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dH1 = θ(1-θ)c(t)^θ-1s(t)^–θ[(-s(t)/c(t) – 1 – c(t)/s(t) – 1).dc(t) + f’(1+c(t)/s(t))dk(t)] = d λ(t)

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ASTUCE ===> La condition H1 implique de maximiser H(t) par rapport à la variable de contrôle c(t). La procédure permet le choix d'une solution intérieure pour la varibale c(t) qui satisfait cette condition, pour une valeur de k(t) et de λ(t) donnée. Dans notre cas, il est possible de déterminer une valeur qui présente l'avantage de simplifier les expressions (et d'éviter des formes non linéaires compliquées, nuisant à la détrmination des solutions)

Nous évaluons dH1 en H1 = 0, avec la solution suivante :

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· c(t)=θ.y(t)

· s(t)=(1-θ)y(t)

· et donc : λ(t)

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(-s(t)/c(t) – 1 – c(t)/s(t) – 1) = (-(1-θ)/θ – 1 – θ/(1-θ) – 1) = – 1/(1-θ)θ

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et 1+c(t)/s(t) = 1+ θ/(1-θ) = 1/(1-θ)

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Nous obtenons une expression simplifiée pour dH1:

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dH1 = θ(1-θ) c(t)^θ-1 s(t)^–θ.[-1/(1-θ)θ. dc(t) + 1/(1-θ).f’.dk(t)] = dλ(t)

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ii) H2 = ∂H(t)/ ∂k(t) = - d(λ(t). e^-θ.t) = - (d λ(t).e^-θ.t - θ λ(t).e^-θ.t)

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= (1-θ) c(t)^θ s(t)^–θ.f’+ λ(t)[f’ - (n + δ + g) – θ] = -dλ(t)

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Sachant que H1=0, en ayant considéré λ(t) = 0 :

..

H2 = (1-θ) c(t)^θ s(t)^–θ.f’= -dλ(t)

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En combinant dH1 et H2, nous obtenons:

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(1-θ) c(t)^θ s(t)^–θ.f’= - θ(1-θ)c(t)^θ-1s(t)^–θ.[-1/(1-θ)θ. dc(t) + 1/(1-θ).f’.dk(t)]

..

c(t).f’ = [θ/θ(1-θ)].dc(t) – θ/(1-θ).f’.dk(t)

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dc(t) = f’.[(1-θ).c(t) + θ.dk(t)]

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iii) dk(t) = f(k(t)) – c(t) – (n + δ + g).k(t)

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dc(t) = f’.[(1-θ).c(t) + θ.y(t) –θ.c(t) – θ.(n + δ + g).k(t)] = f’[2.(1-θ).c(t) – θ. (n + δ + g).k(t)]

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Le système différentiel résultant :

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dc(t) = f’[2.(1-θ).c(t) – θ.(n + δ + g).k(t)]

dk(t) = y(t) – c(t) – (n + δ + g).k(t)

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Il est résolu graphiquement via le diagramme de phase présenté en annexe.

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La trajectoire optimale de la consommation est caractérisée par :

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c(t) = θ/2(1-θ).(n + δ).k(t)

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Les valeurs du sentier de croissance équilibré:

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θ/2(1-θ).(n + δ + g).k(t) = k(t)^α - (n + δ + g).k(t)

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k(t) = (n + δ + g)^{1/(α – 1)}.[1 + θ/2(1-θ)]^{1/(α – 1)}

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k(t)* = [2(1-θ)/(2- θ).(n + δ)]^1/(1-α) et y(t)* = k(t)*^α

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c(t)* = θ/2(1-θ).(n + δ).[2(1-θ)/(2- θ)(n + δ)]^1/(1-α)

^.

c(t)* = θ(1/(2-θ))^1/(1-α) (1/(2-θ)) ^-α/(1-α)[2(1-θ)/(2- θ)(n + δ)]^α/(1-α) = θ/(2-θ).y(t)*

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La contrainte concernant les proportions résultantes est vérifiée : c* + s* = θ/(2-θ) + 2(1-θ)/(2- θ) = 1

Annexe "Graphiques" (Diagramme de phase)

Annexe "Exemple numérique"

Annexe "Graphiques" (Chgt structurel)

Annexe "Simulation en données agrégées"